6.Работа сил электростатического поля.

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Из механики известно, что центральное поле сил потенциально. Убедимся в потенциальности сил электростатического поля (т. е. поля, создаваемого неподвижными зарядами) непосредственно. Вычислим работу, которая

совершается силами поля неподвижного точечного заряда q над перемещающимся точечным зарядом q'. Работа на элементарном пути dl равна (рис. 19)

(мы учли, что dl cosα = dr). Отсюда работа на пути 1–2 равна

                          (9.1)

То есть, работа действительно не зависит от траектории заряда q', а зависит лишь от начального и конечного положений этого заряда (от r1 и r2). Следовательно, силы, действующие на заряд q' в поле неподвижного заряда q, потенциальны. Этот вывод распространяется на поле любой системы неподвижных зарядов. Сила f, действующая на точечный заряд q', по принципу суперпозиции равна

где fi-– сила, обусловленная i-м зарядом системы источников поля. Работа равна сумме работ, совершаемых отдельными силами:

Каждое из слагаемых не зависит от пути. Следовательно, не зависит от пути и работа A.

Работа потенциальных сил на замкнутом пути равна нулю. Работа, совершаемая силами поля над зарядом q' при обходе его по замкнутому контуру, может быть представлена как

,

где El – проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl (кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутому контуру). Так как q’ – постоянная величина, приравняв интеграл нулю получим:

                                                                  (9.2)

которое должно выполняться для любого замкнутого контура. Формула (9.2) справедлива только для электростатического поля. Поле движущихся зарядов (т. е. поле, изменяющееся со временем) не является потенциальным, так как за время движения заряда q’ изменяется значение переменного поля E. Следовательно, условие (9.2) для него не выполняется.

Выражение вида называется циркуляцией вектора А по данному контуру. Таким образом, характерным для электростатического поля является то, что циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю.

.Потенциал

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля.

Следовательно, работа (9.1) равна разности значений потенциальной энергии, которыми обладал заряд q' в точках 1 и 2 поля заряда q:

Отсюда для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q получаем

Значение const выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (r = ∞) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что

                                                                  ()

Пусть заряд q' – пробный заряд. Его потенциальная энергия зависит не только от величины q', но и от величин q и r, определяющих поле.

Разные пробные заряды и т. д. будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией и т. д. Однако, для данного источника поля q отношение будет для всех зарядов одинаковым. Величина

                                                                    A0.2)

называется потенциалом поля в данной точке.

Таким образом, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Подставляя в A0.2) значение Wp, получаем для потенциала поля точечного заряда:

Пусть поле создается системой точечных зарядов q1, q2... Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля r1, r2... Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q’ будет равна сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов:

Но согласно (9.1) каждая из работ Аi равна

                                                           А

где ri1 – расстояние от заряда qi до начального положения заряда q', ri2 – расстояние от qi до конечного положения заряда q'. Следовательно,

Сопоставляя это выражение с соотношением

получаем .для потенциальной энергии заряда q' в поле системы зарядов выражение

откуда

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы –алгебраически. Поэтому вычисление потенциалов обычно гораздо проще, чем вычисление напряженностей электрического поля.

Из A0.2) определяется потенциальная энергия заряда q, находящегося в точке поля с потенциалом φ

Wp = qφ.                                                                   A0.5)

Работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов:

                                                  A0.6)

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Если заряд q из точки с потенциалом φ удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна

                                                                    (Ю.7)

Отсюда: потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же работу необходимо совершить против сил электрического поля, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.

За единицу потенциала называемую вольтом (сокращенное обозначение– B), принимается потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности положительного заряда 1Кл необходимо совершить работу, равную 1 Дж:

1 дж = 1 к⋅1 в, отсюда

                                                                   A0.8)

В физике часто пользуются единицей работы и энергии, называемой электронвольтом (эв). Под электронвольтом подразумевается работа, совершаемая силами поля над зарядом, равным заряду электрона (т. е. над элементарным зарядом е) при прохождении им разности потенциалов в 1 в:

1 эв=1,6 10-19кл 1 в = 1,6 10-19дж.

Используются также кратные электронвольту единицы:

1 кэв (килоэлектронвольт) = 103 эв,

1 Мэв (мегаэлектронвольт) = 106 эв,

1 Гэв (гигаэлектронвольт) = 109 эв.

Отметим, что величина kT, характеризующая среднюю энергию теплового движения молекул, равна при комнатной температуре