З-н Био-Савара. Поле движущегося заряда.

Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей токов различной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна силе тока, создающего магнитное поле, и более или менее сложным образом зависит от расстояния до той точки, в которой определялась В. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей,создаваемых отдельными элементарными участками тока. Для магнитной индукции поля, создаваемого моментом тока длины dl, Лаплас получил формулу

                                                            (40.1)

где k' – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения, i–.сила тока, dl – вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, в которую течет ток (рис. 64), r – вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в

которой определяется dB, r – модуль этого вектора.

Соотношение (40.1) носит название закона Био – Савара – Лапласа или более кратко закона Био – Савара.

Направлен вектор dB перпендикулярно к плоскости, проходящей через dl и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг dl в направлении dB связано с dl правилом правого винта (рис 64). Для модуля dB можно написать следующее выражение:

                                    (40.2)

где α – угол между векторами dl и r.

В рационализованной форме закон Био – Савара записывается следующим образом:

                                                          (40.3)

т. е. полагается . Единица магнитной индукции в СИ называется тесла (Тл).

Электрический ток есть, как мы знаем, упорядоченное движение зарядов. Таким образом, магнитное поле возбуждается движущимися зарядами. Поле (40.1) создается всеми движущимися зарядами, заключенными в элементе тока dl. Чтобы найти магнитную индукцию поля, создаваемого одним движущимся зарядом, преобразуем выражение (40.1), заменив в нем силу тока i произведением плотности тока j на площадь поперечного сечения проводника S. Вектор плотности тока j и вектор dl имеют одинаковое направление. Поэтому можно написать, что

idl = Sjdl.                                                                  (40.6)

Если все носители заряда в проводнике одинаковы и имеют заряд е' (е' – алгебраическая величина), вектор плотности тока можно представить в виде [см. (31.4)]

j = е'nu,                                                                   (40.7)

где n – число носителей в единице объема, u – средняя скорость их упорядоченного движения. Заметим, что когда носители тока положительны, j и u имеют одинаковое направление. В случае отрицательных носителей j и u направлены в противоположные стороны.

Подставим в формулу (40.1) выражение (40.6) для idl, заменив в нем j согласно (40.7) (полагаем ). В результате получим, что

                                                          (40.8)

Произведение Sndl дает число носителей заряда, заключенных в элементе провода длины dl. Разделив выражение (40.8) на это число, получим магнитную индукцию поля, создаваемого одним зарядом, движущимся со скоростью u.

Если заряд е' движется со скоростью υ, то индукция создаваемого этим зарядом магнитного поля в точке, положение которой относительно заряда определяется радиусом-вектором r, равна

                                                            (40.9)

Следует иметь в виду, что электромагнитные возмущения распространяются в пространстве с конечной скоростью, равной скорости света с. Поэтому поле в данной точке пространства будет соответствовать тому состоянию (т. е. положению и скорости) заряда, которое существовало на τ  = r /с секунд раньше (r –расстояние от точки, где был заряд раньше на τ  секунд, до точки, в которой определяется В). Таким образом, имеет место запаздывание значений поля, тем большее, чем дальше отстоит данная точка поля от вызвавшего это поле заряда. Формула (40.9) даёт правильный результат лишь в том случае, если перемещением заряда за время τ  (которое равно υτ) можно пренебречь по сравнению с растоянием r до данной точки поля, т. е. при соблюдении условия: υτ << r. Разделив неравенство на τ и приняв во внимание, что r/τ равно с, получим условие

υ << c                                                                   (40.11)

при котором справедлива формула (40.9).