36)Энергия магнитного поля.

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 115. Сначала замкнем соленоид L на батарею ε в нем установится ток i; который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида.

Если, отключив соленоид от батареи, замкнуть его через сопротивление R, то в образовавшейся цепи будет некоторое время течь постепенно убывающий ток. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна

dA = εS i dt = – (dψ/dt)idt = – idψ.                         (61.1)

Если индуктивность соленоида не зависит от t (L = const), то dψ = Ldi и выражение (61.1) принимает следующий вид:

dA=°– Lidi.                                                            (61.2)

Проинтегрировав это выражение по i в пределах от первоначального значения i до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля:

                                                       (61.3)

Работа (61.3) идет на приращение внутренней энергии проводников, т. е. на их нагревание. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве.1 Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (61.3). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток i, обладает энергией

W = Li2/2                                                               (61.4)

которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле [ср. эту формулу с выражением для энергии заряженного конденсатора].

Заметим, что выражение (61.3) можно трактовать как ту работу, которую необходимо совершить против э. д. с. самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до i, и которая идет на создание магнитного поля, обладающего энергией (61.4). В самом деле, работа, совершаемая против э. д. с. самоиндукции,

Произведя преобразования, подобные тем, которые привели нас к выражению (61.2), получим

                                                     (61.6)

что совпадает с (61.3). Работа (61.6) совершается при установлении тока за счет источника э. д. с. и идет целиком на создание сцепленного с контуром магнитного поля. Выражение (61.6) не учитывает той работы, которую источник э. д. с. затрачивает в процессе установления тока на нагревание проводников. Она равна

.

Выразим энергию магнитного поля (61.4) через величины, характеризующие само поле. В случае бесконечного (практически очень длинного) соленоида

L = μ0μn2V, Н = ni,

откуда

i = H/n

Подставляя эти значения L и i в (61.4) и производя преобразования, получим

                                                             (61.7)

Было показано, что магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (61.7) заключена в пределах соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно получить, разделив W на V. Произведя это деление, получим

                                                              (61.8)

Воспользовавшись соотношением (44.15), формулу для плотности энергии магнитного поля можно записать следующим образом:

                                                          (61.9)

Полученное нами выражение для плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный выражению (30.2) для плотности энергии электрического поля, с тем лишь отличием, что электрические величины в нем заменены соответствующими магнитными.

Если магнитное поле неоднородно, плотность энергии больше там, где больше Н и μ. Чтобы найти энергию магнитного поля, заключенную в некотором объеме V, нужно вычислить интеграл

                                                (61.11)