магнитное поле соленоида

Возьмем контур, охватывающий прямой ток, и вычислим для него циркуляцию вектора В:

Вначале рассмотрим случай, когда контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 71; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж).

Рис. 71.

Рис. 72.

В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Воспользовавшись известным свойством скалярного произведения векторов, Bldl можно заменить через BdlB, где dlB – проекция перемещения dl на направление В. Но dlB можно представить в виде Rdα, где R – расстояние от прямого тока до dl, dα – угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок dl. Поэтому, учтя выражение (41.1

) для В, можно написать

Таким образом, выражение для циркуляции имеет вид

При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому

. Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 72). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается

Рис. 73.

сначала в одном направлении (участок 1–2), а затем в противоположном (участок 2–1), вследствие чего

где под i следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю.

Случай контура произвольной формы (рис. 73) отличается от рассмотренного нами случая лишь тем, что при перемещении вдоль контура радиальная прямая не только поворачивается вокруг тока, но и перемещается вдоль него. Все предыдущие выкладки остаются справедливыми, если под dα подразумевать угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на перпендикулярную к току плоскость. Суммарный угол поворота этой проекции равен 2π, если контур охватывает ток, и нулю в противном случае. Следовательно, мы снова приходим к формуле (42.2). Эта формула получена нами для случая прямого тока. Можно показать, что она справедлива и для тока, текущего по проводнику произвольной формы.

Если контур охватывает несколько токов, циркуляция В равна их алгебраической сумме:

Вычисляя сумму токов, положительным нужно считать такой ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным.

Выражение (42.3) справедливо только для поля в вакууме. Для поля в веществе в формуле (42.3), кроме токов, текущих по проводам (макротоков), необходимо учитывать также молекулярные токи.

Воспользовавшись соотношением (31.3

), можно написать

где S – произвольная поверхность, опирающаяся на данный контур.

Величины Е и В являются основными силовыми характеристиками соответствующих полей. Сопоставление выражений (9.2) и (42.3) для циркуляции Е и В позволяет заключить, что между этими полями имеется принципиальное различие. Циркуляция напряженности электростатического поля всегда равна нулю, откуда следует, что электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано потенциалом φ. Циркуляция магнитной индукции отлична от нуля, если контур, по которому берется циркуляция, охватывает ток. Поля, обладающие таким свойством, называются вихревыми (или соленоидальными). Магнитному полю нельзя приписать потенциал, который был бы связан с магнитной индукцией соотношением, аналогичным формуле (11.7

Этот потенциал не был бы однозначным – после каждого обхода по контуру,

Рис. 74.

охватывающему ток, и возвращения в первоначальную точку он получал бы приращение, равное μ0i.

Далее, линии напряженности электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. Как показывает опыт, линии магнитной индукции, напротив, всегда замкнуты (см. рис. 66, 69 и 75). Это указывает на то, что магнитных зарядов в природе не существует.

Применим формулу (42.3) для вычисления магнитной индукции поля бесконечно длинного соленоида. Соленоид (рис. 74) представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна к плоскости (см. рис. 70). Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор В может иметь лишь направление, параллельное оси.

Возьмем прямоугольный контур 1–2–3–4 (рис.74). Циркуляцию В по этому контуру можно представить следующим образом:

Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор В перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся.

Взяв участок 3–4 на большом расстоянии от соленоида (где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что

здесь В – магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1–2, l – длина этого отрезка.

Если отрезок 1–2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток nli, где n – число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, i – сила тока в соленоиде.

Отметим, что полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1–2. Если этот отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего

откуда B = 0. Таким образом, вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри–всюду одинакова и имеет величину, определяемую формулой (42.6). По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве.

В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида (магнитное). Произведение in называется числом ампер-витков на метр. При n = 1000 витков на метр и силе тока в 1 а магнитная индукция внутри соленоида будет 4π⋅10–4Тл.

Подобно тому, как оба круговых тока на рис. 70 вносят одинаковый вклад в результирующее поле, обе половины бесконечно длинного соленоида принимают равное участие в создании поля (42.6). Поэтому, если половину соленоида убрать, то у конца оставшегося «полубесконечного» соленоида магнитная индукция будет равна половине значения, получаемого из (42.6):

Практически, если длина соленоида значительно больше, чем его диаметр, формула (42.6) будет справедлива для точек в средней части соленоида, а формула (42.8) для точек вблизи его

Рис. 75.

Рис. 76.

На рис. 75 показана примерная картина линий магнитной индукции для соленоида конечной длины.

Тороид представляет собой тонкий провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 76). Он эквивалентен системе одинаковых круговых токов, центры которых расположены по окружности. Возьмем контур в виде окружности радиуса r, центр которой совпадает с центром тороида. В силу симметрии вектор В в каждой точке должен быть направлен по касательной к контуру. Следовательно,

где В – магнитная индукция в тех точках, где проходит контур.

Если контур проходит внутри тороида, он охватывает ток 2πRni (R– радиус тороида, n – число битков на единицу его длины). В этом случае

Контур, проходящий вне тороида, токов не охватывает, поэтому для него В2π r = 0. Таким образом, вне тороида магнитная индукция равна нулю.

Для тороида, радиус которого R значительно превосходит радиус витка, отношение R/r для всех точек внутри тороида мало отличается от единицы и вместо (42.9) получается такая же формула, как для бесконечно длинного соленоида:

В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечений тороида. В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому говорить об однородности поля в пределах всего тороида можно только условно, имея в виду модуль вектора В.